Cykloprůměr

Už se vám stalo, že jste šlapali na kole do nekonečného mírného kopce a zoufale sledovali tachometr, na kterém neúprosně svítilo číslo mnohem nižší, než průměr, který jste si pro vyjížďku stanovili? Určitě se pak vynořila otázka „Jak rychle budu muset jet zbytek trasy, abych průměr dohnal(a)? Nedávno s tím v práci přišel šéf a jednoduchých intuitivních řešení se během chvilky objevilo hned několik. Mě se zdálo , že řešení bude jednoduchý lineární a vyřeší se to jen sčítáním a odčítáním. No a pak jsem si to napsal na papír.

Zadání je na obrázku: známe délku celého úseku (s), délku ujetého úseku (s1), délku úseku, který zbývá (s2), průměrnou rychlost na celou trasu (v) a rychlost, kterou jsme projeli první úsek (v1). Co nás zajímá je v2 – tedy rychlost, jakou je třeba projet druhý úsek, aby celková průměrná rychlost byla v. Tady jsou rovnice, odvození a výsledný vztah:

Pro demonstraci je tady konkrétní příklad, se kterým přišel šéf: celková délka trasy 20km (s), první úsek má 10 km (s1) a požadovaná průměrná rychlost na celou trasu je 20 km/h (v). Odpovídající hodnoty:

Jak je vidět, vztah není vůbec lineární a existují jistá omezení (asymptoty křivky v grafu).  Jedním omezením je minimální rychlost pro druhý úsek – je to logické, kdyby člověk projel první úsek nekonečně rychle, stejně by musel jet druhý úsek hodinu (v našem příkladu je to 10 km/h). Druhé omezení je maximální čas, který cyklista může strávit na prvním úseku – pokud ho pojede moc pomalu a dojede před na jeho konec za určitý limitní čas (v příkladu je to 1h), nedokáže už v druhém úseku průměr spravit – ani kdyby jel nekonečně rychle.

Tož tak je to. A teď už zase do práce.

Obvod zeměkoule

Vztah mezi poloměrem a obvodem kružnice dokáže pěkně potrápit to, čemu říkáme selský rozum. Následující příklad mě provází celý život a ani dnes, po tolika letech, jsem jeho řešení svým selským rozumem zatím nevstřebal. Takže:

Zadání

Představte si zeměkouli a drát, který natáhnete po rovníku kolem dokola. Zjednodušme tvar země na ideální kouli – drát pak tvoří kružnici. Drát bude dlouhý přibližně 40 000 km a bude leže po celé své délce na zemi. Nyní drát v jednom místě přestřihneme a do místa střihu vložíme 1 metr nového drátu. Celková délka drátu se tak zvětší o jeden metr a drát se po celém obvodu zeměkoule nepatrně zvedne. Otázka zní. Zvedne se po celém obvodu od země tak vysoko, aby vzniklým prostorem kdekoliv prolezla myš?

Bude takový zdvih zanedbatelný, bude několik centimetrů nebo metrů?

Řešení

Odvození vztahu pro výpočet zdvihu je úplně jednoduché a výsledný vzoreček udivující. Co vlastně chceme spočítat: známe poloměr Země (r), obvod Země (2*pi*r) a délku vloženého úseku drátu. Zajímá nás změna poloměru kružnice tvořené drátem při změně délky obvodu. Odvození obecného vztahu je elegantní a důležité pro další úvahy. Takže:

Na levé straně rovnice je vzorec pro výpočet obvodu prodloužené kružnice vyjádřený pomocí poloměru Země (r) a změny poloměru, kterou si prodloužení vyžádá (delta r). Na pravé straně je vzorec pro výpočet obvodu Země v součtu s prodloužením (delta o – u nás 1 metr). Po pár úpravách dostaneme jednoduchý vztah mezi změnou obvodu (delta o) a změnou poloměru (delta r). Dosazením 1m za delta o dostaneme výsledek: 1 / 2 * pi, což je přibližně 15 cm.

To není vše. Obecný vzoreček, který jsme odvodili má zajímavou vlastnost. Úplně z něj vypadly členy obsahující skutečné rozměry Země. Znamená to, že vztah platí nejen pro Zemi, ale i pro libovolně velkou kružnici. Prakticky to znamená, že ať vezmete kružnici s poloměrem 1cm nebo 1 světelný rok, pak prodloužení jejího obvodu o jeden jediný metr způsobí rovnoměrný zdvih pomyslného drátu o 15cm. Vztah platí i pro bod – tedy nekonečně malou kružnici s nulovým poloměrem i obvodem. Když její nulový obvod zvětšíme o metr, poloměr bude našich patnáct centimetrů.